Verifica sui numeri naturali

Il compito di questa mattina:

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Un esercizio sulle potenze

Tempo fa avevo proposto di determinare la cifra delle unità di . Torno sull’argomento per ricordare come abbiamo risolto l’esercizio.

Inizialmente qualcuno (non facciamo nomi) propose di calcolare , pensando che si potesse tranquillamente scambiare la base con l’esponente. Beatrice ci ha mostrato che questo non è vero, mostrando ad esempio che le potenze e non hanno lo stesso valore, giungendo alla conclusione che certamente non possono averlo neanche e . Ho fatto notare che questa deduzione era forse affrettata e ho invitato a pensare ad un caso (non banale) in cui lo scambio tra base ed esponente non fa cambiare valore alla potenza. Di nuovo Beatrice ci ha dato la risposta, notando che effettivamente sia che hanno come valore 16.

Volendo evitare di calcolare effettivamente il valore di (ma dopo pochi passaggi ci si renderà facilmente conto del fatto che è enormemente più grande di ) ci si può limitare a fare considerazioni di divisibilità: è certamente divisibile per 3, mentre non può esserlo perché non lo è 2009. Possiamo quindi affermare, senza fare troppi conti, che i due valori sono diversi.

Detto questo, torniamo alla domanda originale: come si fa a determinare la cifra delle unità di ?