Dopo la lezione Beatrice e Giorgia hanno provato a cimentarsi nella divisione. Ho salvato il lavoro che hanno svolto alla lavagna interattiva.

Questa è la divisione svolta da Beatrice:

…e questa è quella di Giorgia:

]]> http://aristofane4e.wordpress.com/2010/04/19/divisione-tra-polinomi/feed/ 0 41.961262 12.526611 41.961262 12.526611 michelepassante divisione beatrice divisione giorgia http://aristofane4e.wordpress.com/2010/03/23/luoghi-geometrici-con-geogebra-le-concoidi/ http://aristofane4e.wordpress.com/2010/03/23/luoghi-geometrici-con-geogebra-le-concoidi/#comments Tue, 23 Mar 2010 17:35:59 +0000 Michele Passante http://aristofane4e.wordpress.com/?p=292 ]]> Ultima lezione in laboratorio prima delle vacanze pasquali. Dopo le ultime settimane, sicuramente stressanti per via dei pagellini di metà quadrimestre, era doverosa una lezione rilassante, così ho pensato che sarebbe stato divertente giocare un po’ con GeoGebra.

Abbiamo visto come usare lo strumento Luogo e lo abbiamo sfruttato per costruire due belle curve: la concoide della circonferenza (con la cardioide come caso particolare) e la concoide di Nicomede.

Le concoidi sono famiglie di curve che si costruiscono a partire da una curva-base (es. una retta o una circonferenza) e un numero. Per costruire la concoide generalizzata si parte da una curva e da un suo punto. Noi siamo partiti da una circonferenza e da un segmento di lunghezza k. Si disegna una retta per quel punto e si determina il secondo punto P di intersezione con la circonferenza. Da questo punto, sulla retta, si staccano due punti a distanza k da P. Ruotando la retta i due punti descrivono la concoide.

Nella figura potete vedere un’animazione relativa alla concoide della circonferenza. I due punti K e L nell’animazione descrivono la stessa curva. Se variate la distanza tra i punti G e H (che definisce il valore di k) potete vedere come varia la forma della concoide. Quando il “ricciolo” sparisce e diventa un punto sulla circonferenza di base, si ottiene la cardioide.

Una costruzione simile, a partire da una retta, ci consente di costruire la concoide di Nicomede. Da un punto esterno C ad una retta a si conduce una retta, si traccia l’intersezione con una retta assegnata e da questo punto si riportano altri due punti a distanza k (in figura sono M e L). Questi due punti, al ruotare della retta per il punto C, disegnano la concoide. Anche qui potete vedere come cambia la forma della concoide variando la lunghezza del segmento EF (corrispondente a k)

Osservate bene l’animazione: quando i punti M e L “scappano” verso l’infinito da una parte, li ritrovate sul ramo di curva opposto, segno che la concoide di Nicomede si “chiude” all’infinito; in pratica solo apparentemente è formata da due rami. Se consideriamo anche i punti all’infinito la concoide si chiude!

Ed ecco anche gli appunti con le istruzioni dettagliate per le due costruzioni (da utilizzare con Geogebra).

(Attività tratta dal documento MATEMATICA 2003, dell’U.M.I)

Cosa vi serve? Basta andare a vedere una mappa su GoogleMaps (per facilitare la cosa, questo è il link alla mappa di Piazza del Popolo), controllare l’unità di misura in basso a destra nella mappa e calcolate l’area. Tenete presente che erano occupate anche le aree laterali (in rosso nella figura)e che il palco occupava l’area tratteggiata in nero.

Cercate di vedere la piazza come unione di figure note (rettangoli, quadrati, semicerchi), se serve riguardate qualche formula di geometria per il calcolo dell’area.

Fatto questo, ipotizzate quante persone possono essere contenute in un metro quadrato e stimate il numero delle persone totali.

Per finire, dite se è verosimile la cifra dichiarata dagli organizzatori. Aspetto qui (preferibilmente sul blog) le vostre risposte e prepariamoci a ripetere l’esercizio domenica prossima. Altro schieramento, altra manifestazione, stessi numeri in libertà…

Ogni lato viene sostituito da quattro segmenti di lunghezza pari a , quindi il perimetro della figura è uguale a . La lunghezza di ogni lato è stata moltiplicata per e questo vale anche per il perimetro della figura .

Se ripetiamo il procedimento sui 12 lati di ognuno di questi viene sostituito da una spezzata la cui lunghezza è i del lato che sostituisce. Di nuovo, il perimetro di e’ i di quello di . Se indichiamo con il perimetro della figura possiamo scrivere

Dopo ogni iterazione il perimetro della figura è uguale ai di quello precedente. Quindi il perimetro della figura è uguale a

Nella tabella seguente riportiamo i valori del perimetro dopo le prime 10 iterazioni

Riportando su un grafico i valori del perimetro in corrispondenza di ogni passaggio ci si rende conto che i valori aumentano sempre di più.

Al passo 20 il perimetro è uguale a 946, al passo 100 è di oltre 9.000 miliardi!!

In matematica questo andamento è detto di tipo esponenziale: il nome deriva dal fatto che il valore del perimetro dipende da un esponente, in questo caso dall’esponente di . Il fatto che la base sia maggiore di 1 ha come conseguenza che il perimetro cresce al crescere di : sappiamo che questo è l’effetto che si ottiene moltiplicando ogni volta per .

Il fiocco di neve, che si ottiene iterando infinite volte il procedimento, ha quindi un perimetro infinito! Curioso: una curva limitata nel piano, e che può essere contenuta in un cerchio di raggio 1, ha una lunghezza infinita.

Provando poi con abbiamo visto che

Si comincia a scorgere qualche regolarità; proviamo ad allungare il primo polinomio:

Ci si accorge che in queste moltiplicazioni si ottiene sempre come risultato un binomio del tipo . Tutto questo è evidente nell’ultimo prodotto: a parte i termini e , tutti gli altri si annullano. Questo è vero anche se aumentiamo i termini del primo polinomio, poiché la regolarita osservata continua a valere. Quindi

e in generale:

Bene, la cosa interessante è che questa formula ci consente di calcolare la somma di potenze crescenti di un numero. Infatti possiamo scrivere la stessa formula in questo modo (l’unico cambiamento che ho fatto e di invertire i termini della somma…. solo perche mi piace scrivere le potenze in ordine crescente, ma non è obbligatorio)

Quindi, per esempio, se ci troviamo a dover calcolare

possiamo scrivere immediatamente il risultato:

Già che ci siamo, diciamo anche che una successione di potenze crescenti di un numero x si chiama progressione geometrica di ragione x. Quindi, la successione

è una progressione geometrica di ragione 2.

Date tre rette parallele, dire se esiste un triangolo equilatero con i vertici sulle tre rette (un vertice su ogni retta). Studiare le varie possibilità, esplorando le diverse situazioni con Geogebra. Il problema ammette sempre soluzione? Se la soluzione esiste, costruire il triangolo equilatero.

Ne abbiamo discusso in modo approfondito nel forum della piattaforma Moodle, qui mi limito a mostrare una possibile soluzione: