Fine delle trasmissioni…

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Divisione tra polinomi

Questa mattina abbiamo visto come sfruttare l’interpretazione geometrica della moltiplicazione tra polinomi per ricavare un procedimento che consenta di calcolare quoziente e resto in una divisione. Nel video seguente vediamo come si fa:

Dopo la lezione Beatrice e Giorgia hanno provato a cimentarsi nella divisione. Ho salvato il lavoro che hanno svolto alla lavagna interattiva.

Luoghi geometrici con GeoGebra. Le concoidi

Ultima lezione in laboratorio prima delle vacanze pasquali. Dopo le ultime settimane, sicuramente stressanti per via dei pagellini di metà quadrimestre, era doverosa una lezione rilassante, così ho pensato che sarebbe stato divertente giocare un po’ con GeoGebra.

Abbiamo visto come usare lo strumento Luogo e lo abbiamo sfruttato per costruire due belle curve: la concoide della circonferenza (con la cardioide come caso particolare) e la concoide di Nicomede.

Le concoidi sono famiglie di curve che si costruiscono a partire da una curva-base (es. una retta o una circonferenza) e un numero. Per costruire la concoide generalizzata si parte da una curva e da un suo punto. Noi siamo partiti da una circonferenza e da un segmento di lunghezza k. Si disegna una retta per quel punto e si determina il secondo punto P di intersezione con la circonferenza. Da questo punto, sulla retta, si staccano due punti a distanza k da P. Ruotando la retta i due punti descrivono la concoide.

Nella figura potete vedere un’animazione relativa alla concoide della circonferenza. I due punti K e L nell’animazione descrivono la stessa curva. Se variate la distanza tra i punti G e H (che definisce il valore di k) potete vedere come varia la forma della concoide. Quando il “ricciolo” sparisce e diventa un punto sulla circonferenza di base, si ottiene la cardioide.

Una costruzione simile, a partire da una retta, ci consente di costruire la concoide di Nicomede. Da un punto esterno C ad una retta a si conduce una retta, si traccia l’intersezione con una retta assegnata e da questo punto si riportano altri due punti a distanza k (in figura sono M e L). Questi due punti, al ruotare della retta per il punto C, disegnano la concoide. Anche qui potete vedere come cambia la forma della concoide variando la lunghezza del segmento EF (corrispondente a k)

Osservate bene l’animazione: quando i punti M e L “scappano” verso l’infinito da una parte, li ritrovate sul ramo di curva opposto, segno che la concoide di Nicomede si “chiude” all’infinito; in pratica solo apparentemente è formata da due rami. Se consideriamo anche i punti all’infinito la concoide si chiude!

Ed ecco anche gli appunti con le istruzioni dettagliate per le due costruzioni (da utilizzare con Geogebra).

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Evoluzione di alcuni sistemi dinamici

Nelle ultime lezioni in laboratorio abbiamo affrontato lo studio dell’evoluzione di alcuni sistemi (popolazioni, concentrazioni di un farmaco nel sangue ecc.). Questi sono gli appunti che riassumono alcune delle cose dette in classe.

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(Attività tratta dal documento MATEMATICA 2003, dell’U.M.I)

Disegnare il fiocco di neve

Come disegnare il fiocco di neve usando semplici istruzioni. Si introduce il sistema di Lindenmayer (L-System)

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Quante persone c’erano a Piazza del Popolo?

Ieri a Piazza del Popolo si è svolta la manifestazione dei partiti del centrosinistra. La piazza era gremita ed effettivamente era molto difficile entrare, c’era molta gente.
Quanta? Ad ascoltare gli organizzatori addirittura 200.000. Ma si sa, la propaganda di partito deve fare il suo dovere, solo se che a spararle così grosse si rischia di perdere di credibilità. In attesa di ascoltare la probabili sparate della destra, per la manifestazione di sabato prossimo del Pdl, vi propongo un utile esercizio: contare quante persone potevano essere presenti ieri a Piazza del Popolo.

Cosa vi serve? Basta andare a vedere una mappa su GoogleMaps (per facilitare la cosa, questo è il link alla mappa di Piazza del Popolo), controllare l’unità di misura in basso a destra nella mappa e calcolate l’area. Tenete presente che erano occupate anche le aree laterali (in rosso nella figura)e che il palco occupava l’area tratteggiata in nero.

Cercate di vedere la piazza come unione di figure note (rettangoli, quadrati, semicerchi), se serve riguardate qualche formula di geometria per il calcolo dell’area.

Fatto questo, ipotizzate quante persone possono essere contenute in un metro quadrato e stimate il numero delle persone totali.

Per finire, dite se è verosimile la cifra dichiarata dagli organizzatori. Aspetto qui (preferibilmente sul blog) le vostre risposte e prepariamoci a ripetere l’esercizio domenica prossima. Altro schieramento, altra manifestazione, stessi numeri in libertà…

Il perimetro di un fiocco di neve (seconda parte)

Continuiamo l’esame del fiocco di neve (che in realtà si chiama curva di Koch, dal nome del matematico che l’ha studiata), ricordando in che modo lo abbiamo ottenuto: si parte da un triangolo equilatero di lato unitario e si divide ogni lato in tre parti, costruendo sulla parte centrale un altro triangolo equilatero. Nella figura seguente è mostrato il procedimento su un singolo lato.

Ogni lato viene sostituito da quattro segmenti di lunghezza pari a , quindi il perimetro della figura è uguale a . La lunghezza di ogni lato è stata moltiplicata per e questo vale anche per il perimetro della figura .

Una formula sulla somma di potenze

Abbiamo visto in classe alcuni prodotti interessanti. Non interessanti in sè (quale moltiplicazione potrebbe mai esserlo?) Interessanti per le conseguenze che hanno. Il primo prodotto di questo tipo è

Provando poi con abbiamo visto che

Si comincia a scorgere qualche regolarità; proviamo ad allungare il primo polinomio:

Ci si accorge che in queste moltiplicazioni si ottiene sempre come risultato un binomio del tipo . Tutto questo è evidente nell’ultimo prodotto: a parte i termini e , tutti gli altri si annullano. Questo è vero anche se aumentiamo i termini del primo polinomio, poiché la regolarita osservata continua a valere. Quindi

e in generale:

Bene, la cosa interessante è che questa formula ci consente di calcolare la somma di potenze crescenti di un numero. Infatti possiamo scrivere la stessa formula in questo modo (l’unico cambiamento che ho fatto e di invertire i termini della somma…. solo perche mi piace scrivere le potenze in ordine crescente, ma non è obbligatorio)

Quindi, per esempio, se ci troviamo a dover calcolare

possiamo scrivere immediatamente il risultato:

Già che ci siamo, diciamo anche che una successione di potenze crescenti di un numero x si chiama progressione geometrica di ragione x. Quindi, la successione

è una progressione geometrica di ragione 2.

Il perimetro di un fiocco di neve (prima parte)

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Un triangolo equilatero costruito su rette parallele

Qualche tempo fa avevo assegnato il seguente problema:

Date tre rette parallele, dire se esiste un triangolo equilatero con i vertici sulle tre rette (un vertice su ogni retta). Studiare le varie possibilità, esplorando le diverse situazioni con Geogebra. Il problema ammette sempre soluzione? Se la soluzione esiste, costruire il triangolo equilatero.

Ne abbiamo discusso in modo approfondito nel forum della piattaforma Moodle, qui mi limito a mostrare una possibile soluzione: